Un modelo solucionable para la simetría.

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 13768 (2023) Citar este artículo

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Los modelos con solución analítica son puntos de referencia en estudios de transiciones de fase y bifurcaciones formadoras de patrones. Estos modelos son conocidos para transiciones de fase del segundo tipo en medios uniformes, pero no para estados localizados (solitones), ya que las ecuaciones integrables que producen solitones no admiten transiciones intrínsecas en ellos. Introducimos un modelo solucionable para transiciones de fase de ruptura de simetría tanto del primer como del segundo tipo (alias bifurcaciones subcríticas y supercríticas) para solitones anclados a un potencial combinado de doble pozo lineal y no lineal, representado por un par simétrico de funciones delta. Se consideran tanto los signos de no linealidad de autoenfoque como de desenfoque. En el primer caso, se producen soluciones exactas para solitones simétricos y asimétricos. Las soluciones demuestran explícitamente un cambio entre las transiciones que rompen la simetría del primer y segundo tipo (es decir, bifurcaciones subcríticas y supercríticas, respectivamente). En el modelo de autodesenfoque, la solución demuestra la transición del segundo tipo que rompe la antisimetría del primer estado excitado.

La dinámica de las excitaciones colectivas en los sistemas físicos está determinada por la interacción de la difracción o dispersión subyacente, las autointeracciones no lineales de los campos o funciones de onda y los potenciales que actúan sobre los campos. En este contexto, es comúnmente conocido que el estado fundamental (GS) de los sistemas lineales reproduce la simetría del potencial subyacente, mientras que los estados excitados pueden realizar otras representaciones de la misma simetría1. En particular, la función de onda de una partícula atrapada en un potencial de doble pozo (DWP) simétrico es par, mientras que el primer estado excitado es impar.

Si bien estas propiedades básicas se demuestran mediante la ecuación lineal de Schrödinger, la dinámica de los condensados de Bose-Einstein (BEC) se rige, en una aproximación de campo medio, por la ecuación de Gross-Pitaevskii (GPE), que tiene en cuenta las interacciones entre partículas, añadiendo el término cúbico de la ecuación de Schrödinger para la función de onda de una sola partícula2,3. Las interacciones repulsivas o atractivas están representadas por el término cúbico con el signo de autodesenfoque (SDF) o autoenfoque (SF). Esencialmente el mismo modelo es la célebre ecuación de Schrödinger no lineal (NLSE), que gobierna la propagación de ondas ópticas en medios no lineales4 y encuentra muchas otras realizaciones, como el modelo universal para gobernar la interacción de la difracción o dispersión débil y la no linealidad del SF cúbico5 . En óptica, una contraparte del potencial de captura es el término del NLSE que explica la estructura de guía de ondas inducida por un perfil transversal del índice de refracción.

La estructura GS en modelos que combinan la no linealidad DWP y SF sigue la simetría del potencial subyacente sólo en el régimen débilmente no lineal. Un efecto genérico que ocurre con el aumento de la fuerza de no linealidad del SF es la transición de fase de ruptura de simetría, que hace que el GS sea asimétrico con respecto a dos pozos del DWP6. Este efecto de ruptura espontánea de simetría (SSB) implica, entre otras cosas, que el principio comúnmente conocido de la mecánica cuántica, según el cual GS no puede ser degenerado1, ya no es válido en los modelos no lineales: obviamente, el SSB da lugar a un degenerado. par de dos GS mutuamente simétricos, con el máximo de la función de onda fijado al pozo de potencial izquierdo o derecho del DWP subyacente. El mismo sistema admite un estado simétrico coexistiendo con los asimétricos, pero, por encima del punto SSB, no representa el GS, siendo inestable frente a perturbaciones que rompen la simetría.

En sistemas con el signo SDF de la no linealidad, la transición GS permanece simétrica y estable, mientras que la transición SSB rompe la antisimetría del primer estado excitado (es espacialmente impar, con precisamente un cero de la función de onda, ubicado en el centro). punto). El estado resultante con la antisimetría rota espontáneamente mantiene el punto cero, que se desplaza del centro hacia la derecha o hacia la izquierda.

El concepto de SSB en sistemas del tipo NLSE con no linealidad SF fue propuesto por primera vez, en forma matemática abstracta, por Davies en 19797. Otra realización temprana de este concepto fue introducida en 1985 por Eilbeck, Lomdahl y Scott, en el forma del “modelo de autotrampa”8. En realidad, este último trabajo había iniciado estudios sistemáticos de las transiciones de fase SSB.

En óptica, la SSB se observó experimentalmente en un cristal fotorrefractivo con no linealidad SF saturable y una estructura de guía de ondas DWP efectiva9. También se predijo la SSB para modos fotónicos respaldados por un metamaterial plasmónico de diseño simétrico10. Para el BEC autoatractivo cargado en una trampa DWP, la transición de ruptura de simetría se elaboró en las Refs.11,12. En ese contexto, las oscilaciones de acoplamiento de túnel entre condensados atrapados en dos pozos potenciales separados por una barrera representan el efecto bosónico Josephson13. Experimentalmente, en la Ref.14 se informó sobre el autoatrapamiento de un estado estacionario con antisimetría rota espontáneamente en un condensado autorrepulsivo cargado en DWP, así como las oscilaciones de Josephson en esa configuración.

Una ramificación del tema es la SSB en sistemas de doble núcleo, como las fibras ópticas de doble núcleo, con la no linealidad cúbica SF actuando en cada núcleo15. En tales sistemas, la interacción del SF y el acoplamiento lineal entre núcleos paralelos da lugar a la transición SSB del estado simétrico a uno establecido espontáneamente con poderes desiguales transportados por los dos núcleos. Este tipo de transición de fase de ruptura de simetría se estudió en detalle teóricamente16,17,18,19,20,21 y recientemente se demostró experimentalmente en una fibra de doble núcleo22. En términos del sistema respectivo de NLSE acoplados linealmente, la transición SSB está representada por la bifurcación que vincula soluciones simétricas y asimétricas23. Dependiendo del tipo de no linealidad intra-núcleo y la forma de onda bajo consideración (deslocalizada o autoatrapada), la bifurcación que rompe la simetría puede ser del tipo supercrítica (alias hacia adelante) o subcrítica (hacia atrás). Las bifurcaciones correspondientes dan lugar a la desestabilización del estado simétrico y la creación de un par de bifurcaciones asimétricas en el punto SSB, que avanzan o retroceden como ramas estables o inestables, respectivamente, siguiendo la variación de la fuerza de no linealidad que impulsa la SSB. En el último caso (subcrítico), las ramas inferiores inestables de los estados asimétricos normalmente se invierten en las superiores estables que avanzan en ciertos puntos de inflexión (ver, por ejemplo, la Fig. 7 a continuación). Como resultado, estados asimétricos estables emergen subcríticamente, con un valor de la fuerza de no linealidad que es menor que el del punto SSB. En consecuencia, el sistema es biestable en el intervalo entre los puntos de giro y SSB, donde los estados simétrico y asimétrico superior coexisten como estables. En términos de física estadística, las bifurcaciones supercríticas y subcríticas se identifican como transiciones de fase de ruptura de simetría del segundo y primer tipo, respectivamente. En este último caso, la biestabilidad corresponde a la histéresis entre el GS y las fases sobreenfriadas o sobrecalentadas.

Otras variedades de efectos ópticos SSB ocurren en configuraciones láser de doble núcleo que combinan la no linealidad SF con ganancia y pérdida. El modelo teórico de tales configuraciones se basa en un par de ecuaciones complejas de Ginzburg-Landau linealmente acopladas con no linealidad cúbico-quíntica24. En la Ref.25 se observó un régimen asimétrico establecido espontáneamente de funcionamiento de un par simétrico de láseres acoplados.

La fenomenología SSB también se predijo en modelos con potenciales no lineales simétricos, inducidos por la modulación espacial del coeficiente local SF o SDF26,27. En las guías de ondas ópticas, la modulación puede ser impuesta por distribuciones espacialmente no homogéneas de un dopante resonante, lo que da lugar a una fuerte no linealidad local28. En experimentos con BEC, la resonancia de Feshbach (FR) controlada por una iluminación láser espacialmente no uniforme del condensado se puede emplear para construir un paisaje de no linealidad efectivo29,30,31. Otras técnicas disponibles para el trabajo experimental con BEC permiten "pintar" un potencial no lineal inducido por FR necesario mediante un rayo láser de movimiento rápido32 o un modulador de luz espacial33,34,35.

El uso del potencial no lineal sugiere una posibilidad de diseñar configuraciones SSB solubles experimentalmente viables, que admitan soluciones analíticas exactas para estados simétricos, antisimétricos y asimétricos. El componente clave de los modelos solubles es el término no lineal en el NLSE con coordenada x, que se concentra en \(x=0\), y se representa mediante la función \(\delta\):

Este modelo está formulado en términos de óptica, con la evolución a lo largo de la distancia de propagación z bajo la acción del coeficiente de no linealidad real \(\sigma\), escalado para ser \(\sigma =+1\) o \(-1\) , que corresponde, respectivamente, al signo SF o SDF de la no linealidad. En ese caso, el término de función \(\delta\) representa una capa estrecha de un material óptico con fuerte susceptibilidad cúbica (por ejemplo, AlGaAs, cuya susceptibilidad excede la de la sílice en un factor \(\simeq 700\)36) incrustada. en la guía de ondas lineal plana, siempre que la anchura de la capa sea pequeña en comparación con la de los haces de luz autoatrapados que se propagan en la guía de ondas. Esta configuración se puede implementar fácilmente en el experimento, ya que el ancho típico de los solitones espaciales se mide en decenas de micrones37. En ese caso, el potencial de captura lineal, \(-\varepsilon \delta (x)\), presente en la ecuación. (1), también es relevante, ya que el índice de refracción lineal de materiales como AlGaAs es mucho mayor que el valor de fondo en el material huésped (sílice). En cuanto al signo de la no linealidad, la consideración de la capa SDF también es interesante, ya que los materiales semiconductores pueden demostrar susceptibilidad no lineal negativa.

La misma ecuación. (1), con z reemplazado por el tiempo t, se aplica a BEC, con el potencial de función \(\delta\) inducido por el rayo láser inductor de FR estrechamente enfocado en \(x=0\). El mismo haz óptico también induce el potencial lineal representado por el coeficiente \(\varepsilon\). En un contexto similar, la Ec. (1) con \(\varepsilon =0\) se introdujo por primera vez, como modelo de unión bosónica no lineal, en Ref.38. Además, un modelo del interferómetro de solitones materia-onda con un divisor de solitones no lineal corresponde a \(\varepsilon <0\) y \(\sigma =-1\) en la ecuación. (1)39.

La ecuación (1) da lugar a la solución exacta para una familia de estados autoatrapados (solitones) anclados al potencial delta funcional:

donde k es una constante de propagación arbitraria y la función de forma es

Los modos autoatrapados se caracterizan por su potencia integral,

que es una invariante dinámica de la ecuación. (1).

El conocido criterio de Vakhitov-Kolokolov (VK), \(dP/dk>0\)40,41,42,43, implica inmediatamente que la familia de soluciones (3) en el caso de la no linealidad SF, \(\ sigma =+1\), y \(\varepsilon >0\) es estable en toda su región de existencia, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (y completamente inestable si el potencial lineal es repulsivo, con \(\varepsilon <0\)). Para estados localizados soportados por la no linealidad SDF, con \(\sigma =-1\), el criterio de estabilidad VK se reemplaza por el anti-VK44, \(dP/dk<0\). En consecuencia, en este caso los estados localizados (3) también son estables en toda su región de existencia, que es \(0

Un caso excepcional es el correspondiente a \(\sigma =+1\) (SF) y \(\varepsilon =0\) (sin potencial lineal), para lo cual la Ec. (4) demuestra la degeneración de los estados localizados, cuyo poder toma el valor único, \(P_{0}=1\), que no depende de k. Esta propiedad implica que la familia correspondiente representa un ejemplo específico de solitones de Townes (una familia comúnmente conocida de solitones de Townes es aquella producida por soluciones localizadas de NLSE bidimensional con la no linealidad SF cúbica espacialmente uniforme45). Debido a que los solitones de Townes, con su valor único de potencia, tienen \(dP/dk=0\), el criterio VK predice que corresponden a una frontera entre la estabilidad y la inestabilidad. Se sabe que, de hecho, los solitones de Townes están sujetos a una inestabilidad que comienza subexponencialmente, lo que eventualmente conduce al inicio del colapso crítico (aparición de una singularidad local después de una distancia de propagación finita)42,43.

También vale la pena mencionar el valor del hamiltoniano del estado fijado (3),

[el hamiltoniano es otro invariante dinámico de la ecuación. (1)]. Tenga en cuenta que la condición de existencia para la solución (3), \(\sigma \left( \sqrt{2k}-\varepsilon \right) >0\), implica \(H_{0}<0\) para \(\varepsilon >0\), por lo tanto, la solución localizada representa un verdadero estado ligado con la energía negativa.

La posibilidad de producir soluciones analíticas exactas para estados localizados fijados al potencial no lineal de la función \(\delta\) sugiere la posibilidad de diseñar un modelo DWP soluble basado en un conjunto de dos funciones \(\delta\), separadas por la distancia. que se puede igualar a 1 mediante reescalado:

La ecuación para estados estacionarios se produce mediante la sustitución de la expresión (2) en la ecuación. (6):

El hamiltoniano correspondiente a la ecuación. (6) es

cf. Ec. (5). La implementación física del modelo en óptica y BEC es sencilla: en el primer caso, se pueden incrustar dos capas no lineales paralelas en la guía de ondas lineal, mientras que en el primer caso la configuración necesaria se puede crear mediante dos rayos láser inductores de FR estrechamente enfocados. .

Un caso particular de la Ec. (6) con \(\varepsilon =0\) se introdujo, en el contexto de BEC, en Ref.46. En ese trabajo se produjeron soluciones exactas para funciones de onda estacionarias simétricas, antisimétricas y, lo que es más interesante, asimétricas, demostrando una característica muy peculiar, a saber, una bifurcación SSB del tipo subcrítico extremo, en la que las ramas hacia atrás de estados inestables nunca gire hacia adelante y, en consecuencia, nunca se estabilice. En otras palabras, es un ejemplo único de transición de fase de ruptura de simetría del primer tipo que no produce ninguna fase estable más allá del punto de transición y da lugar a una fase sobreenfriada completamente inestable, representada por estados asimétricos completamente inestables.

Recientemente, se encontró otro ejemplo de una transición de fase anómala en la Ref.47 en el estudio de acopladores de doble núcleo con no linealidad SF y difracción fraccionada, representada por el operador \(\left( -\partial ^{2}/\partial x^{2}\right) ^{\alpha /2}\), con índice de Lévy \(\alpha\)48, actuando en cada núcleo. En ese caso, la bifurcación SSB subcrítica extrema tiene lugar en \(\alpha =1\), que es el límite entre la transición de fase normal de ruptura de simetría del primer tipo en \(1<\alpha <2\), y inestabilidad total del sistema, impulsada por el colapso supercrítico, en \(\alpha <1\). Sin embargo, el modelo de acoplador fraccionario no puede resolverse analíticamente, al contrario de la ecuación. (7).

Nuestro propósito es producir una solución analítica del modelo completo, con el DWP funcional \(\delta\) lineal-no lineal combinado en la ecuación. (6). Los términos lineales están representados por \(\varepsilon >0\) (el potencial atractivo), mientras que se abordarán los signos SF y SDF de la no linealidad, \(\sigma =\pm 1\). Para \(\sigma =+1\), la solución demuestra explícitamente un cambio gradual de la bifurcación subcrítica extrema a la supercrítica a través de una bifurcación subcrítica regular, en la que las ramas hacia atrás (inferiores) de estados asimétricos inestables se invierten en estados superiores estables. ramas en puntos de inflexión. Para \(\sigma =-1\) los resultados son más sencillos, corroborando la estabilidad del GS simétrico y la ocurrencia de la transición supercrítica de ruptura de la antisimetría en el primer estado excitado.

Si bien la ventaja del modelo es su solucion analítica, algunos resultados se producen en forma numérica, utilizando las Ecs. (6) y (7) con una función \(\delta\) regularizada,

definido por un ancho pequeño w (en la mayoría de los casos, se usó \(w=0.01\), que es 1/100 de la distancia entre las dos funciones \(\delta\)). En este sentido, es relevante mencionar que la realización del presente modelo como guía de ondas óptica implica que un valor característico de la separación entre las dos capas estrechas y atractivas puede ser \(\sim 50\) \({\mathrm {\ mu }}\)m, por lo tanto \(w=0.01\) corresponde al espesor de la capa \(\sim 0.5\) \({\mathrm {\mu }}\)m. En vista de la posibilidad antes mencionada de utilizar un material con una susceptibilidad no lineal superior a la de la guía de ondas en un factor \(\sim 700\), este espesor será suficiente para proporcionar la no linealidad requerida. En el caso de la realización en BEC, un tamaño relevante de la separación puede ser \(\sim 10\) \({\mathrm {\mu }}\)m. Luego, el potencial casi funcional delta puede ser inducido por un rayo láser enfocado en un punto de tamaño \(\sim\) 0.5 \({\mathrm {\mu }}\)m, que corresponderá a \(w \simeq 0.05\), en las unidades escaladas.

La comparación con las soluciones numéricas es relevante para comprobar qué tan bien el modelo resoluble representa uno realista, con el ancho finito w de los pozos potenciales, y también para probar las predicciones de estabilidad de los solitones simétricos, antisimétricos y asimétricos fijados al \ (\delta\) -DWP funcional. Los resultados analíticos y numéricos se resumen en la siguiente sección y se discuten en la final.

El hecho de que la Ec. (7) es lineal en \(x\ne \pm 1/2\) hace posible construir soluciones obvias en estas áreas, ya que \(\exp \left( - \sqrt{2k}\left| x+1/ 2\right| \right)\) y \(\exp \left( -\sqrt{2k} \left| x-1/2\right| \right)\) en \(x<-1/2\) y \(x>+1/2\), respectivamente, y una combinación de estos términos en \(|x|<1/2\). En los puntos \(x=\pm 1/2\), las soluciones coinciden con la condición de continuidad para U(x) y la condición de salto para la derivada dU/dx,

La solución genérica que satisface estas condiciones se puede buscar como

donde las amplitudes \(U_{1}(k)\) y \(U_{2}(k)\) deben encontrarse a partir de la sustitución de ansatz (11)–(13) en la ecuación. (10). Para esta solución estacionaria, el valor del hamiltoniano (8) es

donde P es la potencia integral, definida según la ecuación. (4).

Primero, es fácil encontrar las soluciones exactas para estados simétricos en el modelo SF (\(\sigma =+1\)), con amplitudes iguales \(U_{1}(k)=U_{2}(k)\ equivalente U_ {\textrm{symm}}}(k)\):

dónde

En la figura 1c se muestra un ejemplo típico de un estado ligado simétrico (solitón), para \(\varepsilon =2\) y \(k=2.1\). Esta gráfica se produce mediante la solución numérica de la ecuación. (7), siendo prácticamente indistinguible de su contraparte dada por la solución analítica, como lo proporcionan las Ecs. (11)–(13) y (15).

(a – c) Ejemplos típicos de estados ligados (solitones) antisimétricos, asimétricos y siméricos producidos por la solución numérica de la ecuación. (7) con las funciones \(\delta\) aproximadas por la expresión (9), la no linealidad SF (\(\sigma =+1\)) y los parámetros \(\varepsilon =2\), \(k= 2.1\). En el panel (b) se trazan dos estados asimétricos, que son imágenes especulares entre sí. Los estados antisimétrico y simétrico son inestables, mientras que el asimétrico es estable. (d – f) Ejemplos típicos de estados ligados antisimétricos, antisimétricos rotos y simétricos para la no linealidad SDF (\(\sigma =-1\)) y \(\varepsilon =2\), \(k=1\) . En el panel (e), dos estados con antisimetría rota son imágenes especulares entre sí. El estado antisimétrico es inestable, mientras que los que tienen antisimetría rota y simetría intacta son estables.

Porque S, tal como lo define la ecuación. (16), es siempre positiva, la solución dada por la Ec. (15) para \(\sigma =+1\) y \(-1\) existe para \(E(\varepsilon ,k)>1\) y \(E(\varepsilon ,k)<1\), respectivamente. Como se desprende de la Ec. (17), esta condición implica que, en el caso de la no linealidad SF, el estado simétrico con una constante de propagación k dada existe si la intensidad del potencial de la función \(\delta\) lineal no excede un valor máximo,

En otras palabras, para \(\varepsilon\) dado, el estado simétrico existe para k que excede un valor \(\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{symm}}}\) determinado por la ecuación. (18) con < reemplazado por \(=\), es decir, debajo de la curva roja en la Fig. 2a. En particular,

En el caso SDF, el área de existencia para los estados simétricos es opuesta, \(\varepsilon >\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). El límite de existencia (18) se muestra mediante la curva roja en la Fig. 2a.

(a) En el modelo con la no linealidad SF, \(\sigma =+1\), los estados ligados simétricos con amplitudes (15) existen debajo del límite en el plano de \(\left( k,\varepsilon \right) \) mostrado por la curva roja, que es producida por la ecuación. (18). Los estados asimétricos, con las amplitudes dadas por las Ecs. (22) y (23), existen debajo del límite verde, que es producido por la ecuación. (24). (b) En el modelo con no linealidad SDF, \(\sigma =-1\), los estados ligados antisimétricos con amplitudes (15) existen por encima del límite marrón, que está definido por la ecuación. (18). Los estados con antisimetría rota y amplitudes dadas por las Ecs. (39) y (40) existen por encima del límite azul, que está definido por la ecuación. (41).

Los estados ligados (solitones) se caracterizan por la potencia total definida según la ecuación. (4). Para los estados simétricos en el modelo con no linealidad SF, es

Como k varía del valor mínimo \(\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{symm}} }\) [ver Ec. (19)] hacia \(k\rightarrow \infty\), la potencia (20) crece de 0 a 2, de modo que

En la Fig. 3 se muestran ejemplos de esta dependencia para \(\varepsilon =1\) y 2. Tenga en cuenta que satisface el criterio VK mencionado anteriormente, \(dP/dk>0\).

La dependencia de la potencia integral de los estados ligados simétricos de la constante de propagación, en el modelo con el signo SF de la no linealidad, como lo indica la ecuación. (20), para \(\varepsilon =1\) y 2. Como lo muestra la ecuación. (21), con el aumento de k la potencia se acerca lentamente al valor límite, \(P_{ {\textrm{symm}}}(k=\infty)=2\).

Un hecho esencial es que la sustitución de ansatz (11)-(13) en la ecuación. (10) produce, además, una solución exacta para estados ligados asimétricos en el modelo con la no linealidad SF, con los siguientes valores de amplitudes \(U_{1}\) y \(U_{2}\):

(o \(U_{1}\rightleftarrows U_{2}\)). En la figura 1b se presentan ejemplos típicos de estados asimétricos estables. Se producen como soluciones numéricas de la ecuación. (7), siendo indistinguibles de sus contrapartes encontradas analíticamente.

Obviamente, la solución dada por las Ecs. (22) y (23) se bifurca del simétrico (15) (con \(\sigma =+1\)) en \(E=2\), y existe en \(E>2\). Para una constante de propagación dada, la solución asimétrica existe si \(\varepsilon\) no excede un valor máximo respectivo,

cf. Ec. (18). El límite (24) se muestra mediante la curva verde en la Fig. 2a. Para \(\varepsilon\) fijo, la solución asimétrica existe en la región debajo de este límite, y solo existe el estado simétrico en la franja entre las curvas roja y verde en la Fig. 2a. En particular, \(\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}} }(k\rightarrow 0)=0\), es decir, en \(\varepsilon =0\) los estados simétricos existen en toda la región de \(0

De acuerdo con las propiedades genéricas de la bifurcación SSB23, los estados simétricos son estables únicamente en la franja entre las curvas roja y verde en la Fig. 2a, siendo desestabilizados por la bifurcación SSB debajo de la verde. Estas expectativas se corroboran a continuación mediante simulaciones directas de la evolución perturbada de los modos simétricos que se muestran en la Fig. 12.

El grado de asimetría de los estados estacionarios se define, en términos de la potencia integral respectiva,

como

Las expresiones analíticas completas para la potencia integral de los estados asimétricos, \(P_{{\textrm{asy}}}(k)\), y el valor respectivo de \(\Theta\) son muy engorrosos. Sin embargo, es fácil encontrar que, mientras k crece desde el valor mínimo \(\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{asy}}}(\varepsilon)\) en el punto de bifurcación SSB , que está determinada por la desigualdad izquierda en la ecuación. (24) reemplazada por la igualdad [ver, en particular, la ecuación. (25) para \(\varepsilon =0\)], hacia \(k\rightarrow \infty\), \(P_{{\textrm{asy}}}(k)\) varía del valor del punto de bifurcación,

[con \(P_{{\textrm{symm}}}(k)\) dado por la ecuación. (20)] a

En realidad, la Ec. (29) proporciona el mismo valor dado anteriormente por la ecuación. (4) con \(\sigma =+1\) y \(k\rightarrow \infty\). De las expresiones anteriores se deduce que, a medida que \(\varepsilon\) aumenta desde cero hacia el infinito, \(P_{{\textrm{bif}}}\) disminuye monótonamente desde

a \(P_{{\textrm{bif}}}\left( \varepsilon \rightarrow \infty \right) =0\). En particular, \(P_{{\textrm{bif}}}\left( \varepsilon \right)\) es exponencialmente pequeño para \(\varepsilon\) grande:

La comparación de los valores límite (28) y (29) de la potencia integral para los estados asimétricos permite identificar un valor umbral \(\varepsilon _{{\textrm{thr}}}\) para el cambio de fase SSB transición entre el primer y segundo tipo (es decir, el cambio entre la bifurcación SSB subcrítica y supercrítica): la transición de fase solo puede ser del primer tipo para \(P_{{\textrm{bif}}}>\) \( P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), y se convierte en la transición de segundo orden para \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). La ecuación correspondiente, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), combinada con la ecuación. (24), en la que \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) se reemplaza, como se dijo anteriormente, por \(\varepsilon =\ left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), equivale a

donde \(k_{{\textrm{thr}}}\equiv \left( k_{\min }\right) _{{\textrm{asy}}}\left( \varepsilon =\varepsilon _{{\textrm{ thr}}}\right)\). Solución numérica de la ecuación. (32) produce la raíz única, \(k_{{\textrm{thr}}}\approx 0.298\), con el valor umbral respectivo de \(\varepsilon\) producido por la ecuación. (24):

Este resultado se corrobora en comparación con diagramas SSB generados numéricamente, en forma de dependencias \(\Theta (P)\), que se muestran en la Fig. 4. De forma detallada, los datos numéricos demuestran que el valor umbral pertenece a intervalo \(0.07<\varepsilon _{{\textrm{thr}}}<0.08\), mientras que es difícil extraer \(\varepsilon _{{\textrm{thr}}}\) de los datos con mayor precisión .

Tenga en cuenta que los intervalos estrechos de la variación de P para ramas de los estados asimétricos en los paneles (af) de la Fig. 4 corresponden a los resultados analíticos presentados aquí [ver, por ejemplo, los límites de la variación de P dados por las Ecs. (29) y (30)]; en los paneles (gi), las curvas \(\Theta (P)\) están parcialmente cortadas, por razones técnicas. El rango de variación de P para la rama de los estados simétricos, con \(\Theta \equiv 0\), está determinado principalmente por el valor límite (21). Para \(\varepsilon =0\), el análisis detallado, presentado para este caso en la Ref.46, demuestra, de acuerdo con la Fig. 4a, que la potencia más grande de los solitones simétricos es \(\left( P_{{\ textrm{symm}}}\right) _{\max }\approx 2.08\), que se alcanza en \(k\approx 1.40\).

El parámetro de asimetría (27) para las soluciones producidas numéricamente de la ecuación. (7) con la no linealidad SF (\(\sigma =+1\)) frente a la potencia integral (26) en diferentes valores de fuerza \(\varepsilon\) del potencial funcional \(\delta\) lineal, que se indican en paneles. El cambio entre las transiciones de fase de ruptura de simetría del primer y segundo tipo, también conocidas como bifurcaciones SSB subcríticas y supercríticas, tiene lugar entre \(\varepsilon =0,07\) y 0,08, de acuerdo con el resultado analítico (33).

Los solitones asimétricos son completamente estables en el área \(\varepsilon _{ {\textrm{thr}}}<\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}} } \), como se ilustra a continuación en la Fig. 13. En \(\varepsilon <\varepsilon _{{\textrm{thr}}}\), las soluciones asimétricas que pertenecen a las ramas inferiores en las Figs. 4a–d, con \(d\Theta /dP<0\), son inestables, mientras que las ramas superiores, con \(d\Theta /dP>0\), son estables. En realidad, los intervalos de inestabilidad para los solitones asimétricos son muy estrechos.

Además de los estados estacionarios simétricos y asimétricos, las Ecs. (6) y (6) con el signo SF de la no linealidad, \(\sigma =+1\), dan lugar a antisimétricos, con \(U(-x)=-U(x)\), ver un ejemplo en la Fig. 1a. Sin embargo, al igual que en el caso de \(\varepsilon =0\)46, los estados antisimétricos son completamente inestables porque, para el mismo valor de potencia integral P, corresponden a valores más altos del hamiltoniano (8) que el límite simétrico estados. La inestabilidad de los estados antisimétricos se ilustra a continuación en la Fig. 14.

Ejemplos típicos de estados antisimétricos, antisimétricos rotos y simétricos producidos por la ecuación. (7) con la no linealidad SDF, es decir, \(\sigma =-1\) en la ecuación. (7), se muestran en las figuras 1d – f, respectivamente. En este caso, el estado simétrico, dado por la solución (15) con \(\sigma =-1\), que existe, como se dijo anteriormente, en \(\varepsilon >\left( \varepsilon _{\max }\right ) _{{\textrm{symm}}}\) [ver Ec. (18)], es siempre estable, realizándose el GS del modelo. En consecuencia, no está sujeto a SSB. Más interesante es el primer estado excitado por encima del GS, es decir, el antisimétrico, dado por las Ecs. (11)–(13) (con \(\sigma =-1\))

donde S y E se definen, como anteriormente, según las Ecs. (16) y (17). Como S siempre es positivo, esta solución existe bajo la condición \(E<-1\). La sustitución de la ecuación. (17) demuestra que esta condición equivale a

cf. Ec. (18). El estado antisimétrico existe, en \(\varepsilon >1\), en el área del plano \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\) sobre el límite marrón que se muestra en la Fig. 2b. Porque la ecuación. (35) produce \(\varepsilon \ge 1\) en el límite de \(k\rightarrow 0\), no hay estados antisimétricos en \(\varepsilon <1\). El poder integral del estado antisimétrico es

Esta dependencia se muestra en la Fig. 5 para \(\varepsilon =2\). Tenga en cuenta que la expresión (36) con todos los valores de \(\varepsilon\) satisface el criterio anti-VK mencionado anteriormente, \(dP/dk<0\), que es necesario para la estabilidad de los estados ligados soportados por la no linealidad SDF44 .

La dependencia de la potencia integral de los estados ligados antisimétricos de la constante de propagación k, en el caso del signo SDF de la no linealidad (\(\sigma =-1\)), como lo indica la ecuación. (36), para \(\varepsilon =4\). En \(k\rightarrow 0\) la potencia diverge según la ecuación. (37). La potencia desaparece en \(k\aproximadamente 7,686\), lo cual está determinado por la ecuación. (35) con \(\varepsilon =4\).

Con la variación de k desde el valor más grande, \(k_{\max }\), que está determinado por la ecuación. (35), hacia \(k\rightarrow 0\), la potencia (36) aumenta monótonamente desde \(P_{{\textrm{anti}}}(k_{\max })=0\) a valores que divergen como

en \(k\rightarrow 0\). La divergencia se explica por el hecho de que, en el límite de \(k\rightarrow 0\), existe un estado deslocalizado antisimétrico con poder divergente,

El estado ligado con antisimetría rota viene dado por las ecuaciones. (11)–(13) con amplitudes

Esta solución existe bajo la condición \(E<-2\). La sustitución de la expresión (17) en la última condición conduce a la siguiente área de existencia para las soluciones con antisimetría rota:

cf. Ec. (35). Esta área está ubicada por encima del límite azul en la Fig. 2b. Porque la ecuación. (41) produce \(\varepsilon \ge 3/2\) en el límite de \(k\rightarrow 0\), no hay estados con antisimetría rota en \(\varepsilon <3/2\).

De acuerdo con la existencia del estado antisimétrico deslocalizado (38), también existe un estado deslocalizado con antisimetría rota, a saber,

dónde

La imagen especular de esta solución es también un estado deslocalizado con antisimetría rota. Tenga en cuenta que el estado antisimétrico deslocalizado y el que tiene la antisimetría rota existen, según las Ecs. (38) y (43), en \(\varepsilon >1\) y \(\varepsilon >3/2\), respectivamente, de acuerdo con lo dicho anteriormente para las soluciones genéricas de los mismos tipos.

Para efectos de la comparación, es relevante mencionar que la Ec. (7) con la no linealidad SF, \(\sigma =+1\), y \(\varepsilon <1\) también da lugar a un estado antisimétrico deslocalizado con \(k=0\), a saber,

cf. Ec. (38). Sin embargo, así como todas las soluciones antisimétricas de la ecuación. (6) con la no linealidad del SF, esta solución es inestable (contra perturbaciones modulacionales, cf. Rev.38), y la ecuación. (7) con \(\sigma =+1\) no produce soluciones con antisimetría continua.

Investigación numérica de las ecuaciones. (6) y (7) con las funciones \(\delta\) aproximadas según la ecuación. (9) es relevante para verificar los resultados analíticos informados anteriormente. Debido a que el ancho de los pozos potenciales lineales y no lineales en sistemas reales es finito, los resultados numéricos también proporcionan la verificación de la relevancia de las predicciones analíticas, que se obtienen anteriormente con el uso de las funciones \(\delta\) ideales.

En la Fig. 1 se muestran ejemplos numéricos de estados ligados de tipo simétrico y antisimétrico, así como de estados con simetría y antisimetría rotas, en los casos de los signos SF y SDF de la no linealidad. evolución de los solitones antisimétricos, asimétricos y simétricos producidos por la ecuación. (7) con \(\sigma =+1\), tras el aumento de la constante de propagación k, se resume en la Fig. 6.

La evolución de las formas de las soluciones antisimétricas (a), asimétricas (b) y simétricas (c) producidas numéricamente de la ecuación. (7) con \(\sigma =+1\) y \(\varepsilon =0.5\), siguiendo el aumento de k.

Los resultados más esenciales en forma de diagramas SSB para el modelo SF, que corroboran la propiedad básica analíticamente predicha del modelo, es decir, el cambio del carácter de la transición de fase de ruptura de simetría del primer al segundo tipo (en En otras palabras, el cambio de la bifurcación SSB subcrítica a la supercrítica) en el punto umbral (33), se demuestra arriba en la Fig. 4. Además de eso, es relevante trazar los diagramas de bifurcación en el plano de k y parámetro de asimetría \(\Theta\). Estos se presentan en la Fig. 7, para el mismo conjunto de valores de \(\varepsilon\) que en la Fig. 4. La rama de los estados simétricos comienza en \(k=\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [ver Ec. (19)], mientras que el valor de \(k(\varepsilon)\) en el punto de bifurcación SSB está determinado por la ecuación. (24).

El parámetro de asimetría (27) para las soluciones producidas numéricamente de la ecuación. (7) con \(\sigma =+1\) vs. constante de propagación k en los mismos valores de \(\varepsilon\) que se presentan en la Fig. 4.

Además, las familias de solitones simétricos y asimétricos se caracterizan, como estados físicos, por las respectivas dependencias P(k) y H(P), donde H es el hamiltoniano definido por la ecuación. (8). Estas dependencias se muestran, respectivamente, en las Figs. 8 y 9. En la figura anterior, las ramas de los estados simétricos comienzan en \(k=\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{symm}}}\), consulte la ecuación. (19). En los paneles (af) de la Fig. 8, P varía entre los valores límite 0 y 2 a lo largo de las ramas simétricas, y entre \(P_{{\textrm{bif}}}\) [ver Ec. (28)] y \(P=1\) a lo largo de los asimétricos [en los paneles (gi), el rango de variación de P está truncado, por razones técnicas; también está parcialmente cortado en la Fig. 9f]. En la Fig. 9i, las dependencias H(P) para los estados simétrico y asimétrico son indistinguibles. Tenga en cuenta también que, en el último caso, el valor \(P_{{\textrm{bif}}}\) en el punto SSB es extremadamente pequeño, de acuerdo con la ecuación. (31). Coordenadas de los puntos SSB en las Figs. 8a y 9a se predicen correctamente mediante las Ecs. (25) y (30).

En el rango donde existen estados asimétricos, se realiza el mínimo de H, es decir, el GS del sistema. Una característica específica del sistema es que no tiene GS verdadero en valores mayores de P, donde sólo existen estados simétricos inestables y no hay estados estacionarios en absoluto en \(P>2\).

La potencia integral de los estados ligados simétricos y asimétricos en el caso de la no linealidad SF (\(\sigma =+1\)) frente a la constante de propagación para los mismos valores de \(\varepsilon\) como en las Figs. 4 y 7.

El hamiltoniano de los estados ligados simétricos y asimétricos, calculado según la ecuación. (8) con \(\sigma =+1\), frente a la potencia integral, P, para los mismos valores de \(\varepsilon\) que en las Figs. 4, 7 y 8.

Dependencias P(k), H(P), \(\Theta (k)\) y \(\theta (P)\) para las familias de solitones antisimétricos y aquellos con antisimetría rota, según lo producido por la solución numérica de Ec. (7) con \(\sigma =-1\), se recogen, por separado, en los paneles (ac), (df), (gi) y (jl) de la Fig. 10, para tres valores diferentes de la resistencia de el potencial de función lineal \(\delta\), es decir, \(\varepsilon =2,3,\) y 5. Estos conjuntos de gráficos son contrapartes de los del modelo con \(\sigma =+1\) que se muestran arriba en las Figs. 8, 9, 7 y 4, respectivamente. En particular, las curvas P(k) y los puntos SSB en todas las curvas trazadas en la Fig. 10 se predicen correctamente mediante las ecuaciones. (36) y (35).

Dependencias P(k) (a–c), H(P) (d–f), \(\Theta (k)\) (g–i) y \(\theta (P)\) (j–l ) para las familias de solitones antisimétricos y aquellos con antisimetría rota, generados por la solución numérica de la ecuación. ( 7) con \(\sigma =-1\), tres valores diferentes de \(\varepsilon\), que se indican en los paneles, y la función \(\delta\) aproximada por la expresión (9). Las contrapartes de estas dependencias en el sistema con \(\sigma =+1\) se muestran arriba en las Figs. 8, 9, 7 y 4, respectivamente.

Una diferencia obvia con respecto al caso de la no linealidad SF es que la bifurcación de la ruptura espontánea de la antisimetría en el caso SDF es siempre supercrítica, como se ve en las Figs. 10j–l. En otras palabras, el modelo con la no linealidad SDF siempre da lugar a la transición de fase de ruptura de antisimetría del segundo tipo. También vale la pena señalar que las ramas de solitón con antisimetría ininterrumpida y rota siempre satisfacen el criterio anti-VK mencionado anteriormente, \(dP/dk<0\), que es la condición necesaria (pero no suficiente) para su estabilidad. .

Finalmente, la evolución de los estados ligados antisimétricos, de antisimetría rota y simétricos producidos por la ecuación. (7) con \(\sigma =-1\) y \(\varepsilon =2\), siguiendo el aumento de la constante de propagación k, se resume en la Fig. 11. Tenga en cuenta que, de acuerdo con las soluciones analíticas, la evolución es opuesto al modelo con la no linealidad SF (\(\sigma =+1\)), que se muestra arriba en la Fig. 6. Es decir, la amplitud y la potencia integral de los solitones aumentan/disminuyen con el crecimiento de k en el sistema SF/SDF.

La evolución de las formas de las soluciones numéricamente encontradas antisimétrica (a), antisimetría rota (b) y simétrica (c) de la ecuación. (7) con \(\sigma =-1\) y \(\varepsilon =2\), siguiendo el aumento de k.

Es relevante probar la (in)estabilidad esperada de estados ligados simétricos y antisimétricos, así como aquellos con simetría y antisimetría rotas, en simulaciones directas de la ecuación. (6) con la función \(\delta\) ideal reemplazada por su versión regularizada (9), tanto para los signos SF como SDF de la no linealidad, es decir, \(\sigma =+1\) y \(-1 \).

Primero, la Fig. 12 recopila ejemplos típicos que demuestran la evolución perturbada de estados ligados simétricos estables [paneles (a,d,f,h,i)] e inestables [paneles (b,c,e,g)] en el modelo con la no linealidad SF. Estos resultados son compatibles con la predicción del área de estabilidad para los estados simétricos, en la forma de la franja entre los límites inferior y superior en la Fig. 2a. Se observa que, naturalmente, todos los estados simétricos inestables demuestran manifestaciones de inestabilidad SSB, lo que lleva a la formación espontánea de estados asimétricos. En algunos casos, como el que se muestra en el panel 2f, el estado simétrico inestable, que se encuentra cerca del límite de inestabilidad, presenta oscilaciones persistentes notorias, mientras que en otros casos la inestabilidad más fuerte crea modos casi estacionarios con una fuerte asimetría.

La evolución de los estados ligados simétricos estables e inestables en el modelo con la no linealidad SF, como se produce mediante simulaciones de la ecuación. (6) con \(\sigma =+1\) y parámetros \((\varepsilon ,k)=(0.05,0.05)\) (a), (0.05, 0.1) (b), (0.5, 2) ( c), (0,5, 0,3) (d), (0,5, 1) (e), (2, 2) (f), (2, 2,8) (g), (5, 10) (h) y ( 5, 11.7) (i). Los paneles trazan valores de \(\left| \psi (x,z)\right|\) mediante el código de color.

Otro resultado esperado corroborado por las simulaciones directas de la evolución perturbada es que casi todos los solitones asimétricos son estables en el caso de la no linealidad SF, como se muestra en la Fig. 13 para soluciones fuertemente asimétricas. Los inestables son los solitones asimétricos que pertenecen a la rama que va hacia atrás (inferior) en las Figs. 4a–d. De hecho, existen sólo en una región de parámetros muy estrecha, y el desarrollo de la inestabilidad los empuja hacia una contraparte estable que existe en el mismo valor de P (no se muestra aquí en detalle, ya que es una característica conocida de la bifurcación subcrítica SSB). ).

La evolución de estados ligados asimétricos estables en el modelo con el signo SF de la no linealidad (\(\sigma =+1\)), como se produce mediante simulaciones de la ecuación. (6) con \(\sigma =+1\) y parámetros \((\varepsilon ,k)=(0.05,0.5)\) (a), (0.5, 1) (b), (2, 2.5) ( c), (5, 12) (d).

Además de los resultados anteriores, las simulaciones directas que se muestran en la Fig. 14 confirman la inestabilidad esperada de todos los estados ligados antisimétricos en el caso de la no linealidad del SF. En los casos que se muestran en los paneles (e) y (f) de la figura, la inestabilidad es apenas visible ya que la interacción entre dos picos de potencia de los modos antisimétricos es muy débil.

La evolución de estados ligados antisimétricos inestables en el modelo con la no linealidad SF, producida por simulaciones de la ecuación. (6) con \(\sigma =+1\) y parámetros \((\varepsilon ,k)=(0.05,0.05)\) (a), (0.05, 2) (b), (0.5, 0.3) ( c), (0,5, 1) (d), (2, 2) (e), (5, 10) (f).

Por último, en la Fig. 15 se recogen ejemplos característicos de la evolución perturbada de los estados ligados de los tipos simétrico, antisimétrico y de antisimetría rota en el modelo con la no linealidad SDF. En particular, de acuerdo con las predicciones anteriores, todos los estados simétricos son estable en este caso, como se muestra en las figuras 15a-c. Además, los paneles (d, e) y (f) de la Fig. 15 presentan, respectivamente, ejemplos de estados antisimétricos moderada y débilmente inestables, de acuerdo con los límites trazados en la Fig. 2b. Se ve que la inestabilidad conduce a la sustitución espontánea de los estados correspondientes por estados oscilatorios con antisimetría rota. Finalmente, los paneles (gi) demuestran la estabilidad de los estados estacionarios con antisimetría débil o fuertemente rota, también de acuerdo con el límite trazado en la Fig. 2b.

(a), (b) y (c): La evolución de estados ligados simétricos estables en el modelo con el signo SDF de la no linealidad, como se produce mediante simulaciones de la ecuación. (6) con \(\sigma =-1\) y parámetros \(( \varepsilon ,k)=(2,1.5)\), (2, 2) y (5, 8), respectivamente. (d, e) y (f): La evolución de estados ligados antisimétricos moderada y débilmente inestables para \((\varepsilon ,k)=(2,1)\), (2, 1.5) y (5, 8) , respectivamente. (g), (h) y (i): La evolución de estados ligados estables con antisimetría moderada, débil y fuertemente rota, para \((\varepsilon ,k)=(2,1.5)\), (2.8, 1.8 ) y (5, 8), respectivamente.

A partir de la red bidimensional de Ising49,50, los modelos exactamente solucionables sirven como puntos de referencia para estudios de transiciones de fase en diversos entornos físicos51,52,53,54,55. Las transiciones de una fase paramagnética a una ferromagnética en los sistemas de espín y transiciones similares en muchos otros medios están intrínsecamente relacionadas con la ruptura espontánea de la simetría del entorno subyacente. Es bien sabido que las transiciones de fase se clasifican en del primer y segundo tipo. En el primer caso son posibles la histéresis y la biestabilidad, en forma de coexistencia del GS (estado fundamental) con una fase metaestable sobreenfriada o sobrecalentada.

Una fenomenología similar la exhiben los sistemas dinámicos no lineales, en forma de bifurcaciones, es decir, transiciones entre diferentes estados estables del sistema, causadas por la variación de los parámetros de control del sistema23. Las contrapartes de las transiciones de fase del primer y segundo tipo se identifican como bifurcaciones de los tipos subcrítico y supercrítico en los sistemas dinámicos. La bifurcación subcrítica crea estados estables previos a la desestabilización de la simétrica, por lo que la bifurcación de este tipo admite la biestabilidad y la histéresis, como transiciones de fase del primer tipo.

En la mayoría de los casos, las transiciones de fase en física estadística, así como las bifurcaciones en sistemas dinámicos, se estudian entre estados espacialmente uniformes. Por otro lado, también son posibles transiciones entre modos espacialmente localizados (autoatrapados), como los solitones. El análisis de este último tema puede beneficiarse de la consideración de modelos que admitan soluciones exactas para transiciones que rompen la simetría en estados autoatrapados. Sin embargo, encontrar modelos solubles es una tarea desafiante, porque los modelos integrables básicos que dan lugar a solitones, como el unidimensional NLSE, no admiten transiciones intrínsecas en los solitones.

El objetivo del presente trabajo es introducir un modelo no lineal soluble con el DWP (potencial de doble pozo) que permita producir soluciones exactas para estados localizados con simetrías completas y rotas, que están vinculados por transiciones de ruptura de simetría de ambos primeros y segundos tipos. En otras palabras, los estados con simetrías ininterrumpidas y rotas pueden estar vinculados por bifurcaciones de tipo subcrítico y supercrítico. La solucion del presente modelo es posible debido al hecho de que la no linealidad está representada por el conjunto simétrico de dos funciones \(\delta\). Un prototipo de este modelo se introdujo previamente en la Ref.46, pero había producido un resultado muy limitado, a saber, la bifurcación SSB (ruptura espontánea de simetría) de la forma subcrítica extrema. Esa bifurcación dio lugar a estados asimétricos completamente inestables, representados por ramas de solución que retroceden y que nunca avanzan. En el presente trabajo, hemos introducido el modelo DWP resoluble que incluye potenciales lineales y no lineales, que se basan en el par simétrico de funciones \(\delta\). El potencial no lineal respectivo se considera con los signos SF (autoenfoque) y SDF (autodesenfoque).

Las soluciones analíticas, confirmadas por sus contrapartes encontradas numéricamente (que se produjeron reemplazando las funciones \(\delta\) ideales por las estrechas gaussianas), dan lugar al conjunto completo de estados simétricos y asimétricos en el modelo con la no linealidad SF, así como el conjunto completo de estados simétricos y antisimétricos, junto con aquellos con antisimetría rota, en el modelo SDF. En el caso de la no linealidad SF, el aspecto más importante de la solución analítica es el cambio explícitamente encontrado de la transición de fase de ruptura de simetría del primer tipo a una del segundo tipo, o, en otras palabras, el cambio de la fase subcrítica. bifurcación en supercrítica. El cambio se produce con el aumento de la fuerza \(\varepsilon\) de la parte lineal del potencial DWP basado en el par simétrico de funciones \(\delta\). A partir de la bifurcación subcrítica extrema mencionada anteriormente en \(\varepsilon =0\), se encuentra analíticamente que el cambio ocurre en el punto dado por las ecuaciones. (32) y (33), lo cual se corrobora con los hallazgos numéricos. Hasta donde sabemos, ningún modelo estudiado previamente permitió predecir el cambio de una transición de fase de ruptura de simetría entre el primer y el segundo tipo (o el cambio del carácter sub/supercrítico de la bifurcación SSB) de forma analítica. .

La solución analítica también se presenta aquí para el modelo con no linealidad SDF, donde la situación es más simple: el GS siempre está representado por el estado localizado simétrico completamente estable, mientras que la transición de fase de segundo tipo que rompe la antisimetría (es decir, el estado supercrítico) bifurcación) desestabiliza el estado excitado más bajo (un estado estacionario espacialmente impar) en el punto crítico dado por la ecuación. (41). Estos resultados analíticos para el modelo SDF también se confirman con la solución numérica.

Los modelos solucionables elaborados en el presente trabajo sugieren posibilidades para estudios analíticos de transiciones y bifurcaciones de fase SSB en entornos más complejos. En particular, puede ser interesante abordar un sistema de dos componentes con el potencial combinado de DWP lineal y no lineal. En la Ref.56 se introdujo una forma degenerada del sistema de dos componentes, con el potencial SF solo no lineal, basado en el par simétrico de funciones \(\delta\). En ese modelo, la no linealidad SF incluye la autointeracción en cada componente y la interacción cruzada entre los componentes. Tenga en cuenta que el modelo SF de dos componentes, a diferencia del modelo de un solo componente, admite una transición de fase que rompe la antisimetría en estados localizados espacialmente impares, y también abre el camino a la consideración de la transición SSB en un estado que combina espacialmente simétrico y componentes antisimétricos.

Otra nueva posibilidad la ofrece un modelo con tres funciones \(\delta\) equidistantes establecidas en un círculo, a diferencia del dominio unidimensional infinito considerado en el presente trabajo (el círculo con el potencial SDF puramente no lineal, representado por una curva simétrica). par de funciones \(\delta\) establecidas en puntos diametralmente opuestos, se abordó en la Ref.57, en cuyo caso no dio lugar a transiciones SSB, siendo siempre simétrica la GS respectiva). Se estudiaron varias configuraciones con un triángulo de pozos potenciales incrustados en un medio no lineal para BEC58,59 y fibras ópticas multinúcleo60,61,62,63,64. En el entorno circular con tres pozos con función \(\delta\), se pueden construir soluciones exactas que transportan vorticidad y abordar transiciones SSB factibles en ellas.

Por otro lado, como un paso hacia la consideración de modelos bidimensionales, donde la solución total no es plausible, se puede introducir un conjunto de dos líneas unidimensionales paralelas acopladas linealmente, cada una con un DWP representado por el par simétrico de las funciones \(\delta\). En todas estas extensiones, las soluciones analíticas tomarán una forma esencialmente más engorrosa que la abordada en el presente trabajo, pero el análisis aún puede ser posible.

Los datos que respaldan los hallazgos de este estudio están disponibles del autor correspondiente previa solicitud razonable.

Landau, D. y Lifshitz, EM Quantum Mechanics (Nauka Publishers, Moscú, 1974).

MATEMÁTICAS Google Scholar

Rev. Giorgini, S., Pitaevskii, LP y Stringari, S.. Modificación. Física. Rev. 80, 1215 (2008).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Stoof, HTC, Gubbels, KB y Dickrsheid, DBM Ultracold Quantum Fields (Springer, Dordrecht, 2009).

MATEMÁTICAS Google Scholar

Kivshar, YS y Agrawal, GP Solitones ópticos: de fibras a cristales fotónicos (Academic Press: San Diego).

Dauxois, T. y Peyrard, M. Física de solitones (Cambridge University Press, Cambridge, 2006).

MATEMÁTICAS Google Scholar

Ruptura espontánea de simetría, autoatrapamiento y oscilaciones de Josephson, ed. por BA Malomed (Springer-Verlag: Berlín y Heidelberg, 2013).

Davies, EB Rotura de simetría en una ecuación de Schrö-Dinger no lineal. Comunitario. Matemáticas. Física. 64, 191-210 (1979).

ADS del artículo Google Scholar

Eilbeck, JC, Lomdahl, PS y Scott, AC La ecuación discreta del autoatrapamiento. Física D 16, 318–338 (1985).

Artículo MathSciNet MATEMÁTICAS Google Scholar

Kevrekidis, PG, Chen, Z., Malomed, BA, Frantzeskakis, DJ & Weinstein, MI Ruptura espontánea de simetría en redes fotónicas: teoría y experimento. Física. Letón. A 340, 275–280 (2005).

Artículo CAS MATH ADS Google Scholar

Christ, A., Martin, OJF, Ekinci, Y., Gippius, NA y Tikhodeev, SG Rotura de simetría en un metamaterial plasmónico en longitud de onda óptica. Nano Lett. 8, 2171–2175 (2008).

Artículo CAS PubMed ADS Google Scholar

Milburn, GJ, Corney, J., Wright, EM y Walls, DF Dinámica cuántica de un condensado atómico de Bose-Einstein en un potencial de doble pozo. Física. Rev. A 55, 4318–4324 (1997).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Smerzi, A., Fantoni, S., Giovanazzi, S. y Shenoy, SR Túneles atómicos coherentes cuánticos entre dos condensados de Bose-Einstein atrapados. Física. Rev. Lett. 79, 4950–4953 (1997).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Raghavan, S., Smerzi, A., Fantoni, S. y Shenoy, SR Oscilaciones coherentes entre dos condensados de Bose-Einstein débilmente acoplados: efectos Josephson, oscilaciones \(\pi\) y autotrampa cuántica macroscópica. Física. Rev. A 59, 620–633 (1999).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Albiez, M. et al. Observación directa de túneles y autotrampa no lineal en una única unión bosónica de Josephson. Física. Rev. Lett. 95, 010402 (2005).

Artículo PubMed ADS Google Scholar

Jensen, SM El acoplador coherente no lineal. IEEE J. Cuántico. Electo. QE–18, 1580–1583 (1982).

ADS del artículo Google Scholar

Wright, EM, Stegeman, GI y Wabnitz, S. Decaimiento de ondas solitarias e inestabilidades que rompen la simetría en fibras bimodales. Física. Rev. A 40, 4455–4466 (1989).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Paré, C. & Fłorjańczyk, M. Modelo aproximado de dinámica de solitones en acopladores totalmente ópticos. Física. Rev. A 41, 6287–6295 (1990).

Artículo PubMed ADS Google Scholar

Maimistov, AI Propagación de un pulso de luz en guías de ondas ópticas acopladas a túneles no lineales, Kvant. Electron. 18, 758-761 [Sov. J. Electrón cuántico. 21, 687-690 (1991)].

Snyder, AW, Mitchell, DJ, Poladian, L., Rowland, DR y Chen, Y. Física de acopladores de fibra no lineales. J. Optar. Soc. Soy. B 8, 2101–2118 (1991).

ADS del artículo Google Scholar

Akhmediev, N. & Ankiewicz, A. Nuevos estados de solitones y fenómenos de bifurcación en acopladores de fibras no lineales. Física. Rev. Lett. 70, 2395–2398 (1993).

Artículo MathSciNet CAS PubMed MATH ADS Google Scholar

Malomed, BA, Skinner, I., Chu, PL & Peng, GD Solitones simétricos y asimétricos en fibras ópticas no lineales de doble núcleo. Física. Rev.E 53, 4084 (1996).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Nguyen, VH y cols. Conmutación de solitones ultrarrápida reversible en fibras ópticas altamente no lineales de doble núcleo. Optar. Letón. 45, 5221–5224 (2020).

Artículo PubMed ADS Google Scholar

Iooss, G. y Joseph, DD Teoría de la bifurcación de estabilidad elemental (Springer, Nueva York, 1980).

Libro MATEMÁTICAS Google Scholar

Sigler, A. & Malomed, BA Pulsos solitarios en ecuaciones de Ginzburg-Landau cúbico-quínticas acopladas linealmente. Física D 212, 305–316 (2005).

Artículo MathSciNet ANUNCIOS MATEMÁTICOS Google Scholar

Heil, T., Fischer, I., Elsässer, W., Mulet, J. & Mirasso, CR Sincronización del caos y ruptura espontánea de la simetría en láseres semiconductores acoplados con retardo simétricamente. Física. Rev. Lett. 86, 795–798 (2000).

ADS del artículo Google Scholar

Hung, NV, Ziń, P., Trippenbach, M. & Malomed, BA Solitones bidimensionales en medios con modulación de no linealidad en forma de franja. Física. Rev. E 82, 046602 (2010).

Artículo MathSciNet ADS Google Scholar

Kartashov, YV, Malomed, BA & Torner, L. Solitones en redes no lineales. Mod. Rev. Física. 83, 247–306 (2011).

ADS del artículo Google Scholar

Hukriede, J., Runde, JD y Kip, D. Fabricación y aplicación de rejillas holográficas de Bragg en guías de ondas de canales de niobato de litio. J. Física. D 36, R1 (2003).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Bauer, DM, Lettner, M., Vo, C., Rempe, G. & Dürr, S. Control de una resonancia magnética de Feshbach con luz láser. Física de la naturaleza. 5, 339–342 (2009).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Yamazaki, R., Taie, S., Sugawa, S. y Takahashi, Y. Modulación espacial submicrónica de una interacción interatómica en un condensado de Bose-Einstein. Física. Rev. Lett. 105, 050405 (2010).

Artículo PubMed ADS Google Scholar

Clark, LW, Ha, L.-C., Xu, C.-Y. & Chin, C. Dinámica cuántica con control espaciotemporal de interacciones en un condensado estable de Bose-Einstein. Física. Rev. Lett. 115, 155301 (2015).

Artículo PubMed ADS Google Scholar

Henderson, K., Ryu, C., MacCormick, C. y Boshier, MG Demostración experimental de la pintura de potenciales dinámicos y arbitrarios para condensados de Bose-Einstein. Nuevo J. Phys. 11, 043030 (2009).

ADS del artículo Google Scholar

Gaunt, AL & Hadzibabic, Z. Holografía digital robusta para captura de átomos ultrafríos. Ciencia. Rep. 2, 721 (2012).

Artículo PubMed PubMed Central ADS Google Scholar

Nogrette, F. y col. Atrapamiento de un solo átomo en matrices holográficas 2D de microtrampas con geometrías arbitrarias. Física. Rev. X 4, 021034 (2014).

CAS Google Académico

Bruce, GD, Bromley, SL, Smirne, G., Torralbo-Campo, L. y Cassettari, D. Trampas holográficas de ley de potencia para la producción eficiente de condensados de Bose-Einstein. Física. Rev. A 84, 053410 (2015).

ADS del artículo Google Scholar

Singer, E., Espinosa, DHG, Vyas, K. & Dolgaleva, K. Fotónica integrada no lineal AlGaAs. Micromáquinas 13, 991 (2022).

Artículo PubMed PubMed Central Google Scholar

Aitchison, JS y cols. Solitones ópticos espaciales en guías de ondas de vidrio planas. J. Optar. Soc. Soy. B 8, 1290-1297 (1991).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Malomed, BA y Azbel, M. . Sí. . Inestabilidad modulacional de una onda dispersada por un centro no lineal. Física. Rev. B 47, 10402–10406 (1993).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Sakaguchi, H. & Malomed, BA Interferómetro de solitones de onda de materia basado en un divisor no lineal. Nuevo J. Phys. 18, 025020 (2016).

Artículo ANUNCIOS DE MATEMÁTICAS Google Scholar

Vakhitov, NG & Kolokolov, AA Soluciones estacionarias de la ecuación de onda en un medio con saturación no lineal. Radiofis. Electrón cuántico. 16, 783–789. https://doi.org/10.1007/BF01031343 (1973).

ADS del artículo Google Scholar

Bergé, L. Colapso de ondas en física: principios y aplicaciones a las ondas de luz y plasma. Física. Representante 303, 259–370 (1998).

Artículo MathSciNet ADS Google Scholar

Sulem, C. y Sulem, P.-L. La ecuación no lineal de Schrö dinger: autoenfoque y colapso de las ondas (Springer, Nueva York, 1999).

MATEMÁTICAS Google Scholar

Fibich, G. La ecuación de Schrödinger no lineal: soluciones singulares y colapso óptico (Springer, Heidelberg, 2015).

Libro MATEMÁTICAS Google Scholar

Sakaguchi, H. & Malomed, BA Solitones en potenciales reticulares lineales y no lineales combinados. Física. Rev. A 81, 013624 (2010).

ADS del artículo Google Scholar

Chiao, RY, Garmire, E. & Townes, CH Autoatrapamiento de haces ópticos. Física. Rev. Lett. 13, 479–482 (1964).

ADS del artículo Google Scholar

Mayteevarunyoo, T., Malomed, BA & Dong, G. Simetría espontánea que se rompe en una estructura no lineal de doble pozo. Física. Rev. A 78, 053601 (2008).

ADS del artículo Google Scholar

Strunin, DV y Malomed, BA Transiciones que rompen la simetría en solitones en reposo y en movimiento en acopladores fraccionarios. Física. Rev. E, en prensa.

Mandelbrot, BB La geometría fractal de la naturaleza (WH Freeman, Nueva York, 1982).

MATEMÁTICAS Google Scholar

Brush, SG Historia del modelo Lenz-Ising. Mod. Rev. Física. 39, 883–893 (1967).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Landau, LD y Lifshitz, EM Física estadística, Parte 1 (Nauka Publishers, Moscú, 1975).

Google Académico

Baxter, RJ Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística (Academic Press, Londres, 1982).

MATEMÁTICAS Google Scholar

Shopova, DV & Uzunov, DI Algunos aspectos básicos de las transiciones de fase cuánticas. Física. Representante 379, 1–67 (2003).

Artículo MathSciNet CAS MATH ADS Google Scholar

Vojta, M. Transiciones de fase cuántica. Prog. Rep. Física. 66, 2069-2110 (2003).

Artículo MathSciNet CAS ADS Google Scholar

Campa, A., Dauxois, T. & Ruffo, S. Mecánica estadística y dinámica de modelos solubles con interacciones de largo alcance. Física. Representante 480, 57-159 (2009).

Artículo MathSciNet CAS ADS Google Scholar

Rosten, OJ Fundamentos del grupo de renormalización exacta. Física. Representante 511, 177–272 (2012).

Artículo MathSciNet ADS Google Scholar

Acus, A., Malomed, BA y Shnir, Y. Ruptura espontánea de simetría de campos binarios en una estructura no lineal de doble pozo. Física D 241, 987–1002 (2012).

Artículo ANUNCIOS DE MATEMÁTICAS Google Scholar

Zhou, X.-F., Zhang, S.-L., Zhou, Z.-W., Malomed, BA & Pu, H. Condensación de Bose-Einstein en una trampa en forma de anillo con potencial de doble pozo no lineal. Física. Rev. A 85, 023603 (2012).

ADS del artículo Google Scholar

Liu, B., Fu, L.-B., Yang, S.-P. & Liu, J. Josephson oscilación y transición a autotrampa para condensados de Bose-Einstein en una trampa de triple pozo. Física. Rev. A 75, 033601 (2007).

ADS del artículo Google Scholar

Viscondi, TF, Furuya, K. & de Oliveira, MC Transición de fase, entrelazamiento y compresión en un condensado de triple pozo. EPL 90, 10014 (2010).

ADS del artículo Google Scholar

Soto-Crespo, JM & Wright, EM Conmutación totalmente óptica de solitones en acopladores de fibra no lineales de dos y tres núcleos. J. Aplica. Física. 70, 7240–7243 (1991).

ADS del artículo Google Scholar

Akhmediev, NN & Buryak, AV Estados de Soliton y fenómenos de bifurcación en acopladores de fibra no lineales de tres núcleos. J. Optar. Soc. Soy. B 11, 804–808 (1994).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Castro, FM, Molina, MI & Deering, WD Control de conmutación totalmente óptica en acopladores no lineales multinúcleo. Optar. Comunitario. 226, 199–204 (2003).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Liu, M. & Chiang, KS Conmutación no lineal de pulsos ultracortos en fibras multinúcleo. IEEE J. Cuántico. Electo. 47, 1499-1504 (2011).

Artículo CAS ADS Google Scholar

Uthayakumar, T., Raja, RVJ y Porsezian, K. Realización de puertas lógicas totalmente ópticas a través de fibra de cristal fotónico de tres núcleos. Optar. Comunitario. 296, 124-131 (2013).

Artículo CAS ADS Google Scholar

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El trabajo de SK y BAM cuenta con el apoyo, en parte, de la Fundación de Ciencias de Israel a través de la subvención n.º 1695/22.

Departamento de Electrónica Física, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería y Centro para la Interacción Luz-Materia, Universidad de Tel Aviv, Tel Aviv, 69978, Israel

Shatrughna Kumar y Boris A. Malomed

Departamento de Física, Universidad Normal de Taiyuan, Jinzhong, 030619, China

Pengfei Li

Departamento de Curso Básico, Universidad Marítima de Guangzhou, Guangzhou, 510725, China

Liang Wei Zeng

Instituto de Estudios Avanzados, Universidad de Shenzhen, Shenzhen, Guangdong, China

Jingsong él

Instituto de Alta Investigación, Universidad de Tarapacá, Casilla 7D, Arica, Chile

Boris A. Malomed

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BAM: formulación del modelo, cálculos analíticos y numéricos, redacción del manuscrito; SK: formulación del modelo, desarrollo de códigos numéricos, cálculos numéricos y redacción del manuscrito; PL y LZ: desarrollo de códigos numéricos, cálculos numéricos y redacción del manuscrito; JH: formulación del modelo, cálculos numéricos y redacción del manuscrito.

Correspondencia a Boris A. Malomed.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Kumar, S., Li, P., Zeng, L. et al. Un modelo solucionable para transiciones de fase que rompen la simetría. Informe científico 13, 13768 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40704-6

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Recibido: 23 de junio de 2023

Aceptado: 16 de agosto de 2023

Publicado: 23 de agosto de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40704-6

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